এইচএসসি আইসিটি ৩য় অধ্যায়: ২-এর পরিপূরক যোগ-বিয়োগ ও বুলিয়ান সরলীকরণ সম্পূর্ণ গাইড 💻

এইচএসসি আইসিটি ৩য় অধ্যায়ের প্রথম অংশ (সংখ্যা পদ্ধতি) এবং দ্বিতীয় অংশ (ডিজিটাল ডিভাইস) থেকে প্রতি বছর শিক্ষা বোর্ডে ২টি সম্পূর্ণ সৃজনশীল (২০ নম্বর) নিশ্চিত থাকে। সৃজনশীল প্রশ্নের "ঘ" নম্বরে নিশ্চিতভাবে আসে: "২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে যোগের মাধ্যমে বিয়োগ" এবং "গ" নম্বরে থাকে "সর্বজনীন গেট দিয়ে বাস্তবায়ন বা বুলিয়ান সমীকরণ সরলীকরণ"।

অনেক শিক্ষার্থী নিয়ম না বুঝে মুখস্থ করতে গিয়ে ক্যারি বিট বা চিহ্ন বিটে ভুল করে পুরো ৪ নম্বর হারিয়ে ফেলে। এই আর্টিকেলে ধাপে ধাপে নিয়ম ও বাস্তব বোর্ড প্রশ্ন সমাধান করে দেখানো হলো।

---

১. ২-এর পরিপূরক (2's Complement) কী ও কেন ব্যবহার করা হয়?

কম্পিউটারের প্রসেসরে আলাদা কোনো বিয়োগের সার্কিট (Subtractor) থাকে না; শুধু যোগের সার্কিট (Adder) থাকে।

মূল নীতি: যোগের বর্তনী (Adder) ব্যবহার করে বিয়োগের কাজ সম্পন্ন করার পদ্ধতিই হলো ২-এর পরিপূরক পদ্ধতি।

$A - B = A + (-B)$ অর্থাৎ $B$-কে ২-এর পরিপূরক করে ঋণাত্মক সংখ্যায় রূপান্তর করে $A$-এর সাথে যোগ করে দিলেই বিয়োগফল পাওয়া যায়।

---

২. ২-এর পরিপূরক বের করার নিয়ম

1. সংখ্যাটির প্রকৃত ধনাত্মক মানকে ৮-বিট রেজিস্টারে বাইনারিতে প্রকাশ করো।
2. বাইনারি মানটির প্রতিটি $0$-কে $1$ এবং $1$-কে $0$ বানালে পাওয়া যায় ১-এর পরিপূরক (1's Complement)।
3. ১-এর পরিপূরকের সাথে $1$ যোগ করলেই পাওয়া যায় ২-এর পরিপূরক (2's Complement)।

শর্টকাট টেকনিক (Super Shortcut):

মূল বাইনারি সংখ্যার ডানদিক (LSB) থেকে প্রথম $1$ পাওয়া পর্যন্ত সংখ্যাটি অপরিবর্তিত রাখো। এরপর বামের বাকি সব বিট উল্টে দাও ($0 \rightarrow 1, 1 \rightarrow 0$)!

উদাহরণ: $(12)_{10} = (00001100)_2$ ডানদিক থেকে প্রথম $1$ হলো: $000011\underline{00} \rightarrow$ শেষের $\underline{100}$ অপরিবর্তিত রেখে বামের অংশ উল্টে দিলে পাই: $11110100$ (এটিই -12 এর মান!)

---

৩. পূর্ণাঙ্গ বোর্ড প্রশ্ন সমাধান: ২-এর পরিপূরক বিয়োগ

প্রশ্ন: উদ্দীপকে রহিমের আইসিটি পরীক্ষার নম্বর $(45)_{10}$ এবং করিমের নম্বর $(28)_{10}$। ২-এর পরিপূরক পদ্ধতিতে তাদের নম্বরের পার্থক্য নির্ণয় করো।

সমাধান:

পার্থক্য $= (45)_{10} - (28)_{10} = (45)_{10} + (-28)_{10}$

ধাপ ১: $(45)_{10}$ এর ৮-বিট বাইনারি নির্ণয়

• $45$ এর সাধারণ বাইনারি $= 101101$
• ৮-বিট রেজিস্টারে: 00101101 (চিহ্ন বিট $0$, যা ধনাত্মক নির্দেশ করে)

ধাপ ২: $(-28)_{10}$ এর ২-এর পরিপূরক মান নির্ণয়

• $28$ এর সাধারণ বাইনারি $= 11100$
• ৮-বিট রেজিস্টারে $+28$: 00011100
• ১-এর পরিপূরক (বিট উল্টিয়ে): 11100011
• সাথে $1$ যোগ: & 11100011 \\ + & \quad\quad\quad 1 \\ \hline & 11100100 \quad \text{(-28 এর মান)} \end{aligned}$$ *(এখানে সর্ববামের ৮ম বিটটি $1$, অর্থাৎ এটি ঋণাত্মক সংখ্যা)*

ধাপ ৩: যোগকরণ

& \quad 00101101 \quad (+45) \\ + & \quad 11100100 \quad (-28) \\ \hline (1) & \quad 00010001 \end{aligned}$$ #### ধাপ ৪: ফলাফল ব্যাখ্যা (পরীক্ষার খাতায় যেভাবে লিখবে) - যোগফলের ক্ষেত্রে সর্ববামে একটি অতিরিক্ত ৯ম বিট $(1)$ পাওয়া গেছে, যা **ক্যারি বিট (Carry Bit)**। ৮-বিট রেজিস্টারে ক্যারি বিট বিবেচনা করা হয় না (Discarded)। - ৮ম বিটটি হলো **চিহ্ন বিট (Sign Bit)**, যার মান $0$ (ধনাত্মক)। - সুতরাং নির্ণেয় পার্থক্য: $(00010001)_2 = 16 + 1 = (17)_{10}$। *(সঠিক উত্তর: ৪৫ - ২৮ = ১৭)* --- ## ৪. সর্বজনীন গেট (NAND ও NOR) দিয়ে মৌলিক গেট বাস্তবায়ন NAND ও NOR গেটকে সর্বজনীন গেট বলা হয় কারণ এদের দিয়ে যেকোনো লজিক সার্কিট তৈরি করা সম্ভব। ### ১. শুধুমাত্র NAND গেট দিয়ে বাস্তবায়ন: - **NOT গেট:** NAND গেটের দুটি ইনপুট একসাথে জুড়ে দিলে ($A \cdot A = A$): $$F = \overline{A \cdot A} = \overline{A}$$ - **AND গেট:** একটি NAND গেটের আউটপুটকে আরেকটি NAND-NOT গেটের মধ্য দিয়ে চালনা করলে: $$F = \overline{\overline{A \cdot B}} = A \cdot B$$ *(মোট ২টি NAND গেট লাগে)* - **OR গেট (ডি মরগ্যানের উপপাদ্য):** $$F = \overline{\overline{A} \cdot \overline{B}} = \overline{\overline{A}} + \overline{\overline{B}} = A + B$$ *(মোট ৩টি NAND গেট লাগে)* - **XOR গেট:** মোট **৪টি** NAND গেট লাগে। - **XNOR গেট:** মোট **৫টি** NAND গেট লাগে। --- ## ৫. বুলিয়ান সরলীকরণের ৫টি গোল্ডেন রুলস 1. **আইডেমপোটেন্ট সূত্র:** $A + A = A$, $A \cdot A = A$ 2. **পূরক সূত্র:** $A + \overline{A} = 1$, $A \cdot \overline{A} = 0$ 3. **দ্বৈত ঋণাত্মক সূত্র:** $\overline{\overline{A}} = A$ 4. **বিভাজন সূত্র:** $A + BC = (A + B)(A + C)$ *(বোর্ডে সবচেয়ে বেশি ব্যবহৃত)* 5. **ডি মরগ্যানের সূত্র:** - $\overline{A + B} = \overline{A} \cdot \overline{B}$ - $\overline{A \cdot B} = \overline{A} + \overline{B}$ ### বাস্তব সরলীকরণ উদাহরণ: $$F = A B + A \overline{B} + \overline{A} B$$ - প্রথম দুটি পদ থেকে $A$ কমন নাও: $A(B + \overline{B}) + \overline{A} B$ - আমরা জানি, $B + \overline{B} = 1$: $A(1) + \overline{A} B = A + \overline{A} B$ - বিভাজন সূত্র প্রয়োগ করো: $(A + \overline{A})(A + B) = (1)(A + B) = A + B$! --- এই গাণিতিক নিয়মগুলো আয়ত্ত করলে আইসিটির ৩য় অধ্যায়ে ২০-এ ২০ পাওয়া নিশ্চিত। বিগত বছরের সকল বোর্ড প্রশ্নের টাইমারভিত্তিক কুইজ সমাধান করতে এখনই [অভ্যাস ডেমো এক্সামে](/demo) অংশ নাও!